掛谷猜想源于日本數(shù)學(xué)家掛谷宗一（Sōichi Kakeya）1917年提出的一個(gè)幾何問題

數(shù)學(xué)家們?cè)缫阎溃?D平面不夠用，必須通過3D空間來解決問題。

但關(guān)鍵在于，能否找到一個(gè)「超級(jí)小」的3D區(qū)域，仍讓這個(gè)線段指向每個(gè)方向？

如今這個(gè)謎團(tuán)，被破解了！

王虹和Joshua Zahl教授通過層層推導(dǎo)，精妙的邏輯和計(jì)算，研究了在?3中具有以下性質(zhì)的δ管（δ tubes）集合：即不會(huì)有太多管道被包含在同一個(gè)凸集V內(nèi)。

王虹現(xiàn)任紐約大學(xué)庫(kù)朗數(shù)學(xué)研究所（NYU Courant）數(shù)學(xué)副教授，北大數(shù)學(xué)系本科畢業(yè)；Joshua Zahl現(xiàn)任不列顛哥倫比亞大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授。

他們得出，來自這樣一個(gè)集合的管道的并集，必須具有幾乎最大的體積。最終證明了?3中的每個(gè)Kakeya集，都具有Minkowski和Hausdorff維數(shù)3。

一時(shí)間，全網(wǎng)忍不住猜測(cè)：如果這篇論文最終通過嚴(yán)格的同行評(píng)審，王虹極有可能成為中國(guó)首位獲得菲爾茲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家，以及 全球第三位拿下菲爾茲獎(jiǎng)的女性得主。

前兩位分別是，伊朗裔美國(guó)數(shù)學(xué)家Maryam Mirzakhani和烏克蘭數(shù)學(xué)家Maryna Viazovska。

作為數(shù)學(xué)界至高榮耀，菲爾茲獎(jiǎng)每4年頒發(fā)一次，只給40歲以下的數(shù)學(xué)家。

王虹一度登上2026菲爾茲獎(jiǎng)得主賠率榜首

DeepMind的研究科學(xué)家Lechao Xiao震驚表示：之前，從未想過有生之年能看到此猜想被證明。

這一次，中國(guó)數(shù)學(xué)家即將成為開拓者，將在數(shù)學(xué)史上留下濃墨重彩的一筆。

北大瘋?cè)嗽寒厴I(yè)，學(xué)霸典范

提起王虹，不是數(shù)學(xué)圈內(nèi)的人，鮮有人知。

1991年，她出生于山水甲天下的桂林。父母都是廣西平樂縣沙子中學(xué)的普通教師，家庭書香氛圍濃厚。

然而，命運(yùn)似乎很早就給這個(gè)聰慧的女孩，設(shè)置了一大考驗(yàn)。

5歲入學(xué)，兩次跳級(jí)

4歲那年，一次意外的右臂燙傷，讓王虹遭遇了一場(chǎng)磨難。

但這并沒有成為她心里的陰影，更沒絲毫動(dòng)搖她對(duì)知識(shí)渴望的決心。

入學(xué)前，在父母的悉心教導(dǎo)下，年僅5歲的她便已經(jīng)掌握了一年級(jí)的全部知識(shí)，憑借超強(qiáng)學(xué)習(xí)能力，她直接跳級(jí)進(jìn)入了小學(xué)二年級(jí)。

在學(xué)習(xí)方式上，王虹有著自己的獨(dú)特的節(jié)奏。她不會(huì)等待老師的授課進(jìn)度，而是習(xí)慣在每學(xué)期開始前，就將整個(gè)學(xué)期的課本自學(xué)完畢。

面對(duì)難題，她也極少直接向老師求助，更傾向于獨(dú)立思考、查閱資料，或與同學(xué)討論。

這種學(xué)習(xí)習(xí)慣，不僅培養(yǎng)她強(qiáng)大得自學(xué)能力，更塑造了其獨(dú)立思考和解決問題得能力，更為日后的學(xué)術(shù)研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

到了六年級(jí)的時(shí)候，王虹再次跳級(jí)，直接升入初中。

2004年中考，她成功考入了了桂林中學(xué)，在高手如云的重點(diǎn)高校，她的成績(jī)從全年級(jí)100名之外最終沖入TOP 10。

逐夢(mèng)數(shù)學(xué)，從北大到MIT

2007年，當(dāng)大多數(shù)同齡人還在為高考而奮斗時(shí)，16歲的王虹便以653分優(yōu)異的成績(jī)提前考入了北大地球與空間科學(xué)學(xué)院。

然而，出于對(duì)數(shù)學(xué)的摯愛，讓她在一年后毅然轉(zhuǎn)入了數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。

在此期間，她的導(dǎo)師是王立中教授，并在劉張炬教授指導(dǎo)下完成了「經(jīng)典Hodge理論和度量空間上的Hodge理論」的畢業(yè)論文。

本科畢業(yè)后，王虹的求學(xué)腳步，并未停歇。

2011年和2014年，她先后獲得了巴黎綜合理工學(xué)院（école Polytechnique）數(shù)學(xué)學(xué)位，以及巴黎南大學(xué)（Paris-Sud Université）數(shù)學(xué)碩士學(xué)位

緊接著在2019年，她在麻省理工學(xué)院（MIT）完成了博士學(xué)位，導(dǎo)師是Larry Guth。

博士畢業(yè)后，王虹的學(xué)術(shù)之路愈發(fā)璀璨。

2019-2021年，她在普林斯頓高等研究院（IAS）擔(dān)任博士后成員；2021-2023年，她還在加州大學(xué)洛杉磯分校（UCLA）擔(dān)任助理教授。

目前，王虹任紐約大學(xué)庫(kù)朗數(shù)學(xué)研究所（NYU Courant）的數(shù)學(xué)副教授。

值得一提的是，她的研究成果得到了國(guó)際數(shù)學(xué)界的高度認(rèn)可。

2022年，王虹獲得了極具聲望的「Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize」，因在限制性猜想、局部光滑性猜想及相關(guān)問題上的突破性研究，而獲此殊榮。

這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)專門表彰過去兩年內(nèi)獲得博士學(xué)位的杰出女性數(shù)學(xué)家。

世紀(jì)數(shù)學(xué)難題，無人破解

1917年，S. Kakeya提出了著名的Kakeya針問題：在平面中，旋轉(zhuǎn)一個(gè)單位線段（「針」）180 度所需的最小面積是多少？

如果圍繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，所需面積為π/4單位，而通過一個(gè)「三點(diǎn)掉頭」方式旋轉(zhuǎn)則只需π/8。

右邊的三角形（deltoid）的大小是圓的一半，盡管兩個(gè)指針都能旋轉(zhuǎn)經(jīng)過每個(gè)方向

1927年，A. Besicovitch解決了這個(gè)問題，給出了一個(gè)令人驚訝的答案：通過恰當(dāng)?shù)姆绞剑D(zhuǎn)一個(gè)針只需要任意小的面積。

乍一看，Kakeya問題和Besicovitch的解決方案，似乎僅僅是數(shù)學(xué)上的好奇。

然而，在過去的三十年中，人們逐漸意識(shí)到，這類問題與許多看似無關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域相關(guān)，涉及到數(shù)論、幾何組合學(xué)、算術(shù)組合學(xué)、振蕩積分，甚至是色散方程和波動(dòng)方程的分析。

2014年，在Nets Katz、陶哲軒嘗試證明Kakeya猜想十多年后，陶在他的博客上發(fā)布了詳細(xì)研究方法的概述，希望其他數(shù)學(xué)家有機(jī)會(huì)自己嘗試這個(gè)方法。

127頁硬核證明

值得一提的是，這一篇長(zhǎng)達(dá)127頁的論文，摘要十分簡(jiǎn)明。

在論文開頭，研究者概述道：Kakeya 集合猜想斷言，在R^n中，每個(gè)Kakeya 集合的Minkowski維數(shù)和Hausdorff維數(shù)均為n。

n=2的猜想已被解決，當(dāng)在三維及更高維度下，該問題仍未解決。

而在這項(xiàng)工作中，研究者解決了三維空間中的Kakeya 集合猜想。

開始，研究者就給出了定理1.1：?3中的每個(gè)Kakeya 集合的Minkowski維數(shù)和 Hausdorff維數(shù)均為3。

它是以下這個(gè)技術(shù)性更強(qiáng)的結(jié)果的推論。

接下來，研究者證明了當(dāng)集合T具有粘性時(shí)，定理1.2是成立的。（圖1左）

然而，并非所有的管狀集合都是 粘性的，圖1右就展示了一個(gè)反例。

為了分析這些反例，他們引入了定理1.2中非聚集性假設(shè)的兩種變體，以及體積估計(jì)的兩種變體。

隨后，利用Guth提出的粒子分解變體，研究者假設(shè)了T_ρ內(nèi)的δ/ρ管排列成「晶?！埂?/span>

接下來，研究者對(duì)粒子的交疊度進(jìn)行了一種粗尺度估計(jì)。

假設(shè)當(dāng)兩個(gè)棱柱ρ，ρ’都屬于集合ρ且相交時(shí)，它們的相應(yīng)切平面在δ/(ρc)精度內(nèi)一致。

由此，就到了本文的一個(gè)關(guān)鍵創(chuàng)新點(diǎn)！

研究者提出了一個(gè)結(jié)構(gòu)定理，該定理找到了一個(gè)凸集集合W，使得W滿足Katz-Tao Convex Wolff公理，且寄予集合W中的每個(gè)W（定義

），都滿足幾個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)。

陶哲軒：「通俗易懂」版解析來了

為了讓大家更好地理解這個(gè)問題，陶哲軒也在論文發(fā)布后，第一時(shí)間更新了一篇詳盡的分析。

經(jīng)過大佬通俗易懂的分析，許多人明白了這項(xiàng)研究的要點(diǎn)和意義所在。

幾何測(cè)度論領(lǐng)域已經(jīng)取得了一些驚人的進(jìn)展：王虹和Joshua Zahl剛剛發(fā)布了一篇預(yù)印本，解決了臭名昭著的掛谷集合猜想（Kakeya set conjecture）的三維情況！

這個(gè)猜想斷言Kakeya集合——一個(gè)包含每個(gè)方向上單位線段的R^3子集，必須具有等于3的閔可夫斯基維數(shù)和豪斯多夫維數(shù)。（這個(gè)猜想還有一個(gè)更強(qiáng)的「極大函數(shù)」變體，目前仍未解決，盡管本文的方法將給出這個(gè)極大函數(shù)的一些非平凡界限。）

通常人們用小尺度0<δ<1來離散化這個(gè)猜想。粗略地說，該猜想斷言如果有一個(gè)由δ×δ×1管組成的族T，其基數(shù)為≈δ^-2，并且指向一組δ分離的方向，那么這些管的并集

的體積應(yīng)該為≈1。

在這里，我們對(duì)≈的含義稍作模糊，但大致上應(yīng)該理解為「在形式為Oε（δ^-ε）的因子范圍內(nèi)，對(duì)于任意ε>0」；特別是，這種表示法可以吸收可能由二分抽屜原理引起的任何對(duì)數(shù)損失。

出于技術(shù)原因（包括需要調(diào)用前述的二分抽屜原理），研究者實(shí)際上處理的是稍小的集合

。 其中Y是T中管的「著色」，為集合中的每個(gè)管T分配一個(gè)大的子集Y(T)；但在本討論中，我們將忽略這個(gè)微妙之處，假設(shè)我們總是可以使用完整的管。

該領(lǐng)域以前的研究成果往往集中在形式為：

對(duì)于各種中間維數(shù)0<d<3，研究者希望使其盡可能大。例如，僅通過考慮這個(gè)集合中的單個(gè)管，人們可以輕松地建立帶有d=1的(1)式。僅利用R^3中兩條線相交于一點(diǎn)的事實(shí)（或者更精確地說，基于相交角度的兩個(gè)δ×δ×1管相交體積的更定量的估計(jì)），結(jié)合Córdoba提出的一個(gè)現(xiàn)已成為經(jīng)典的基于L^2的論證，人們可以獲得帶有d=2的(1)式（這類論證也解決了二維中的Kakeya猜想）。

1995年，在Bourgain早期工作的基礎(chǔ)上，Wolff著名地獲得了帶有d=2.5的(1)式，使用的是現(xiàn)在被稱為「Wolff毛刷論證」的方法，該方法基于考慮「毛刷」的大小——即所有通過集合中單個(gè)管（毛刷的「柄」）的管的并集。

在他們的新論文中，王虹和Zahl建立了d=3的（1）式。證明非常長(zhǎng)（127頁?。⑶谊P(guān)鍵地依賴于他們之前的論文，該論文解決了猜想的一個(gè)關(guān)鍵「粘性」情況。

在這里，我想嘗試總結(jié)一下證明的高層次策略，為了便于闡述，我省略了許多細(xì)節(jié)，并在多處簡(jiǎn)化了論證過程。該論證確實(shí)使用了之前文獻(xiàn)中的許多思想，包括一些來自我與合著者論文中的思想；但所需的案例分析和迭代方案非常復(fù)雜且精細(xì)，需要多種新思想來完成整個(gè)論證。

證明(1)式的一個(gè)自然策略是嘗試對(duì)d進(jìn)行歸納：如果我們用K(d)表示對(duì)所有由≈δ^-2個(gè)維度為δ×δ×1的管組成的配置，且這些管具有δ分離的方向，（1）式成立的斷言，我們可以嘗試證明對(duì)所有0<d<3，形式為K(d)?K(d+α)的蘊(yùn)含關(guān)系，其中α>0是依賴于d的某個(gè)小的正數(shù)。通過反復(fù)迭代這一過程，我們可以期望使d任意接近3。

這類連續(xù)歸納法論證的一般原則是首先以非顯然的方式獲得平凡蘊(yùn)含K(d)?K(d)希望這個(gè)非顯然的論證可以通過某種擾動(dòng)或優(yōu)化，獲得關(guān)鍵的改進(jìn)K(d)?K(d+α)。

自從1990年代Bourgain和Wolff的工作以來（其前身是Córdoba的早期工作），實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)策略是執(zhí)行某種「尺度上的歸納法」。

基本思想如下：讓我們稱T中的δ×δ×1管T為「細(xì)管」。我們可以嘗試將這些細(xì)管分組為尺寸為ρ×ρ×1的「粗管」，其中δ≤ρ≤1是某個(gè)中間尺度；對(duì)于這個(gè)簡(jiǎn)述來說，這里選擇的中間值具體是什么并不特別重要，但如果需要的話，可以設(shè)置ρ=√δ。由于T中方向的δ分離性質(zhì)，在給定的粗管中最多只能有大約小于等于(ρ/δ)^2個(gè)細(xì)管，因此我們至少需要大約大于等于ρ^-2個(gè)粗管來覆蓋≈δ^-2個(gè)細(xì)管。

現(xiàn)在讓我們假設(shè)我們處于「粘性情況，即細(xì)管在粗管內(nèi)盡可能地粘在一起，因此實(shí)際上有一個(gè)包含≈ρ^-2個(gè)粗管T_ρ的集合T_ρ，每個(gè)粗管包含大約（ρ/δ）^2個(gè)細(xì)管。我們還假設(shè)粗管T_ρ在方向上是ρ分離的，這一假設(shè)與我們?cè)诖俗龀龅钠渌僭O(shè)高度一致。

如果我們已經(jīng)有了假設(shè)K(d)，那么通過在尺度ρ而不是δ上應(yīng)用它，我們可以得出粗管所占體積的下界：

由于

這實(shí)質(zhì)上告訴我們粗管的典型多重度μ_fat為約小于ρ^(d-3)；

中的一個(gè)典型點(diǎn)應(yīng)該屬于大約μ_fat為約小于ρ^(d-3)個(gè)粗管。

現(xiàn)在，在每個(gè)粗管T_ρ內(nèi)，我們假設(shè)有大約(ρ/δ)^2個(gè)在方向上δ分離的細(xì)管。如果我們沿著粗管的軸進(jìn)行因子為1/ρ的線性縮放，將其轉(zhuǎn)變?yōu)?×1×1的管，這將使細(xì)管擴(kuò)展為尺寸為δ/ρ×δ/ρ×1的縮放后的管，這些管現(xiàn)在在方向上≈δ/ρ分離。

這種縮放不影響管的多重度。再次應(yīng)用K(d)，我們實(shí)質(zhì)上看到縮放后管的多重度μ_fine，因此，因此T_ρ內(nèi)的細(xì)管的多重度應(yīng)該為約小于(δ/ρ)^(d-3)。

接下來，我們觀察到完整集合T中細(xì)管的多重度μ實(shí)質(zhì)上應(yīng)該滿足不等式：

這是因?yàn)槿绻粋€(gè)給定點(diǎn)最多位于μ_fat個(gè)粗管中，且在每個(gè)粗管內(nèi)，一個(gè)給定點(diǎn)最多位于該粗管中的μ_fine個(gè)細(xì)管中，那么它應(yīng)該最多只能位于μ_fatμ_fine個(gè)管中。從直觀上，這給出了

，從而在粘性情況下恢復(fù)了（1）式。

在他們之前的論文中，王虹和Zahl大致能夠從這個(gè)論證中獲得更多結(jié)果，得到類似于K(d)?K(d+α)的結(jié)果，這在粘性情況下大致遵循了Nets Katz和我本人在十多年前的博客文章中討論過的策略。我不會(huì)在這里進(jìn)一步討論論證的這一部分，請(qǐng)讀者參考該論文的引言；相反，我將專注于當(dāng)前論文中處理非粘性情況的論證。

讓我們嘗試在非粘性情況下重復(fù)上述分析。我們假設(shè)K(d)（或其某些合適的變體），并考慮一些增厚的Kakeya 集合：

其中，T類似于我們可能稱為尺度δ的「Kakeya配置」：一個(gè)由δ^-2個(gè)維度為δ×δ×1的細(xì)管組成的集合，這些細(xì)管在方向上δ分離。（實(shí)際上，為了使歸納法有效，我們必須考慮比這些更一般的管的族，滿足一些標(biāo)準(zhǔn)的「Wolff公理」而不是方向分離假設(shè)；但我們暫時(shí)不詳細(xì)討論這個(gè)問題。）我們的目標(biāo)是證明類似于K(d+α)的結(jié)果，其中α>0，這相當(dāng)于獲得一些改進(jìn)的體積界限：

這改進(jìn)了來自K(d)的界限

。 從之前的論文中我們知道我們可以在「粘性」情況下做到這一點(diǎn)，所以我們將假設(shè)E是「非粘性的」（不管這具體是什么意思）。

一個(gè)典型的非粘性設(shè)置是現(xiàn)在有mρ^-2個(gè)粗管，其中m>>>1是某個(gè)多重度（例如，m=δ^-η，其中η>0是一個(gè)小常數(shù)），每個(gè)粗管只包含m^-1 (δ/ρ)^-2個(gè)細(xì)管。現(xiàn)在我們面臨一個(gè)不幸的不平衡：粗管形成了一個(gè)「超級(jí)Kakeya配置」，在粗尺度ρ上有太多的管，使它們不可能都在方向上ρ分離，而粗管內(nèi)的細(xì)管形成了一個(gè)「次級(jí)Kakeya配置」，其中沒有足夠的管來覆蓋所有相關(guān)方向。因此，我們不能在任一尺度上有效地應(yīng)用假設(shè)K(d)。

這似乎是一個(gè)嚴(yán)重的障礙，因此讓我們換一種思路，考慮一種不同的方式來嘗試完成論證——讓我們看看，E會(huì)如何與給定的ρ-球B(x,ρ)相交。

假設(shè)K(d)表明E可能表現(xiàn)得像一個(gè)d-維分形，在這種情況下，我們可能會(huì)推測(cè)|E∩B(x,ρ)|的大小形式為(ρ/δ)^dδ^3。為了進(jìn)行論證，假設(shè)集合E在這個(gè)尺度上比這更密集，例如我們有：

對(duì)所有x∈E和某個(gè)α>0成立。我們觀察到ρ-鄰域E基本上是

，因此根據(jù)假設(shè)K(d)，其體積為約大于ρ^(3-d)（實(shí)際上我們甚至期望在m上有一些增益，但我們暫時(shí)不嘗試捕捉這樣的增益）。由于ρ-球的體積為≈ρ^3，這應(yīng)該意味著E需要大約ρ^-d個(gè)球來覆蓋它。應(yīng)用(3)式，我們從直觀上有：

這將給出所需的增益K(d+α)。所以如果我們能夠在某個(gè)中間尺度ρ展示條件(3)，我們就贏了。我認(rèn)為這是一種[Frostman測(cè)度的違背]，因?yàn)镕rostman類型的界限：

正在被違背。

集合E作為厚度為δ管的并集，本質(zhì)上是δ×δ×δ立方體的并集。但在之前的陶哲軒和Nets Katz、Izabella Laba等的研究中已經(jīng)觀察到，這些Kakeya集合傾向于組織成比這些立方體更大的「顆粒」。特別是，對(duì)于某些中間尺度δ<<<c<<1，它們可以組織成各種方向的δ×c×c不相交棱柱（或「顆?！梗?/span>

Nets、Izabella和陶哲軒最初提出的「顆粒性」論證需要一個(gè)粘性假設(shè)，而我們?cè)诖嗣鞔_不做這一假設(shè)（還需要一個(gè)「X射線估計(jì)」），因此不能直接用于當(dāng)前的論證。不過，Guth基于多項(xiàng)式方法開發(fā)了一種替代的顆粒性方法，可以適用于這種情況。通過重新縮放，就可以確保單個(gè)粗管T_ρ內(nèi)的細(xì)管將組織成重新縮放后維度為δ×ρc×c的顆粒。與單個(gè)粗管相關(guān)的顆?；旧鲜遣幌嘟坏?；但來自不同粗管的顆粒之間可能存在重疊。

顆粒的確切維度ρc, c并未預(yù)先指定；Guth的論證將表明ρc明顯大于δ，但除此之外沒有其他界限。原則上，我們應(yīng)該能夠在不失一般性的情況下假設(shè)顆粒盡可能「大」。這意味著不再有維度為δ×ρ’c’×c’的更長(zhǎng)的顆粒，其中c'遠(yuǎn)大于c；對(duì)于固定的c，也不存在維度為δ×ρ’c×c的更寬的顆粒，其中ρ’遠(yuǎn)大于ρ。

一種較為退化的情況是，存在維度約為δ×1×1的巨大顆粒（即ρ≈c≈1），使得Kakeya集E更像是平面板的并集。在這種情況下，Córdoba的經(jīng)典L^2論證能夠給出良好的估計(jì)，因此這被證明是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的情況。所以我們可以假設(shè)ρ或c中至少有一個(gè)很?。ɑ騼烧叨夹。?。

現(xiàn)在我們重新審視多重度不等式。這個(gè)不等式有些浪費(fèi)，因?yàn)橛糜诙xμ_fat的粗管占據(jù)了很多不在E中的空間。這里的一個(gè)改進(jìn)不等式是：

其中μ_coarse不是粗管T_ρ的多重度，而是更小集合

的多重度。這里的關(guān)鍵點(diǎn)是，根據(jù)顆粒性假設(shè)，每個(gè)

是基本不相交的中間維度δ×ρc×c顆粒的并集。因此，量μ_coarse基本上是在測(cè)量顆粒的多重度。

結(jié)果表明，經(jīng)過適當(dāng)?shù)闹匦驴s放后，顆粒的排列在局部上看起來像是ρ×ρ×1管的排列。在理想情況下，這些管會(huì)呈現(xiàn)出Kakeya（或次級(jí)Kakeya）配置的特征，例如在給定方向上沒有過多的管。（更準(zhǔn)確地說，這里應(yīng)該假設(shè)某種形式的Wolff公理，作者稱之為「Katz-Tao凸Wolff公理」）。假設(shè)K(d)的一個(gè)合適變體將給出以下界限：

同時(shí)，粗管內(nèi)的細(xì)管將形成一個(gè)次級(jí)Kakeya配置，比Kakeya配置少約m倍的管?？梢宰C明，通過使用K(d)可以在m上獲得增益：

其中σ＞0是一個(gè)小常數(shù)。將這些界限代入（4）式，可以得到一個(gè)良好的界限

，這就導(dǎo)致了所需的增益K(d+α)。

因此剩下的情況是當(dāng)顆粒不表現(xiàn)為重新縮放的Kakeya或次級(jí)Kakeya配置時(shí)。Wang和Zahl引入了一個(gè)「結(jié)構(gòu)定理」來分析這種情況，得出結(jié)論是顆粒將組織成一些更大的凸棱柱W，每個(gè)棱柱W中的顆粒表現(xiàn)為「超級(jí)Kakeya配置」（比Kakeya配置有明顯更多的顆粒）。然而，這些棱柱W的精確維度并未預(yù)先指定，需要進(jìn)一步分情況討論。

一種情況是當(dāng)棱柱W是「厚的」，即所有維度都明顯大于δ。直觀上講，這意味著在小尺度上，E在重新縮放后看起來像一個(gè)超級(jí)Kakeya配置。通過一個(gè)相當(dāng)冗長(zhǎng)的尺度歸納論證，Wang和Zahl能夠證明（一個(gè)合適變體的）K(d)意味著它自身的「X射線」變體，其中超級(jí)Kakeya配置的下界明顯好于Kakeya配置的下界。這樣做的結(jié)果是，在這種情況下能夠獲得形式為（3）的Frostman測(cè)度違背界限，如前所述，這已足以解決這種情況。

剩下需要處理的是棱柱W是「薄的」情況，即它們的厚度≈δ。在這種情況下，Córdoba的L^2論證，結(jié)合每個(gè)薄棱柱內(nèi)顆粒的超級(jí)Kakeya性質(zhì)，表明每個(gè)棱柱幾乎完全被集合E占據(jù)。這實(shí)際上意味著，這些棱柱W本身可以被視為Kakeya 集合的顆粒。但這與顆粒維度的最大性相矛盾（如果一切設(shè)置正確）。

這一結(jié)果處理了完成尺度歸納所需的最后剩余情況，從而證明了Kakeya猜想！

參考資料：JHNYZ

https://terrytao.wordpress.com/2025/02/25/the-three-dimensional-kakeya-conjecture-after-wang-and-zahl/